통계학과에서 집합을 배우는 이유
통계적 추정을 위해서는 확률을 알아야 하고,
확률을 약속하기 위해서는 '사건'의 개념을 이해해야 하고,
사건은 표본공간의 부분집합이며,
표본공간은 우연에 의해 등장한 결과들의 집합이다.
따라서 집합의 개념을 반드시 알아야,
통계적 추정의 수학적 의미를 잘 이해할 수 있다.
1. 집합
정의 : 구성원인지 아닌지 명확히 판단할 수 있는 모임
생각 1 >
집합이라는 약속을 이해하는 과정에서, 집합의 영어 표현이 set임을 아는 것이 도움이 되었다.
set는 햄버거 세트의 그 세트가 맞다. 모아두는 것이라는 의미를 내포하는 듯.
생각 2 >
집합의 기준 : 어떤 특정한 대상이 그 모임애 포함될지 말지가 분명해야 함
ex> 한반도에 피는 꽃들 중 아름다운 꽃들의 모임 -> 불분명.
벚꽃은 포함될지 안될지 사람마다 다를 수 있다.
집합의 표현 방법 : 원소 나열 법, 조건 제시법
원소 나열 법
집합의 구성원 각각을 원소라고 한다. 그것들을 하나하나 늘어놓은 것(나열)
ex> {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
원소 나열 법으로 집합을 표현하는 것은 한계가 있다.
따라서 조건 제시법이라는 다른 표현법을 함께 사용한다.
조건제시법
ex> {x | x는 10 이하의 자연수}
x 뒤의 조건( x는 10이하의 자연수)을 만족하는 x를 가져오라는 의미
|를 such that이라고 읽는다.
2. 전체집합
우리가 고려하는 모든 개체들의 집합
3. 집합의 종류
유한 집합
원소의 개수가 유한함
ex> 주사위 던져서 나올 수 있는 짝수들
무한 집합
원소의 개수가 무수히 많음
무한 집합은 셀 수 있는 무한 집합과
셀 수 없는 무한 집합으로 나뉨
"셀 수 있다"의 의미는 자연수의 집합과 1대 1 대응이 가능하다는 것이다.
(또는 1대 1 대응을 찾을 수 있다라고도 표현함)
집합의 구분을 왜 유한과 무한으로 하는가에 관한 이야기
19세기 말 독일의 수학자 게오르그 칸토어(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845-1918)는 신의 영역이라고 불리던 무한의 세계에 발을 들여놓습니다.
그는 정수 집합과 유리수 집합의 크기를 비교하기로 하죠. 그는 두 집합을 비교하기 위해 일대일 대응을 시도하지만 난관에 부딪히게 됩니다. 정수를 나열하는 것은 쉬운 일이었지만 유리수를 나열하는 것은 그렇지 않았죠. 칸토어는 대각선을 이용한 방법이라는 아이디어를 생각해냅니다.
칸토어는 대각선을 이용해 이용해 정수와 유리수를 비교하는 데 성공합니다. 그리고 유리수만큼 많은 정수가 있다고 결론내리죠. 더불어 그는 실수는 유리수 보다 훨씬 많다는 점도 증명하였습니다. 무한도 다같은 무한이 아니라는 이야기입니다. 그의 연구는 공격의 대상이 되었습니다. 칸토어가 활동하던 독일의 수학계는 19세기 최고의 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)의 영향력이 막대한 곳이었습니다. 정수론, 통계학, 미분기하학, 전자기학 등 광범위한 분야에서 혁명적인 생각을 남겼던 그였지만 무한에 대해서는 전통적인 사고를 고수했습니다.
“나는 무한대를 완성된 양으로 보는 것에 반대한다. 수학은 이를 허용하지 않으며, 무한대는 단지 화법의 일종에 지나지 않는다.”- 카를 프리드리히 가우스
칸토어의 연구에 누구보다도 분노한 것은 그의 스승 레오폴드 크로네커였습니다. 정수론의 아버지라고도 불리는 크로네커는 정수만이 의미 있다고 생각했죠. 그는 칸토어를 공격하는 수학자들의 사령관을 자청했습니다. 베를린 대학의 교수가 되기 위해 칸토어가 원서를 넣으면 크로네커가 거절했습니다. 강연을 취소시키고 연줄을 동원해 논문이 학술지에 실리지 못하도록 막았습니다.
지쳐버린 칸토어는 신경쇠약과 우울증에 시달리게 됩니다. 데데킨트, 러셀, 힐베르트 등 그를 지지하는 많은 이들이 있었지만 결국 그는 독일의 한 정신병원에서 생을 마감합니다. 하지만 칸토어는 마지막 순간까지 자신의 연구결과에 대해 확신했습니다. 그것은 미치광이의 믿음이 아니었습니다. 논리로 달성한 증명에 대한 믿음이었죠.
“내가 유일하게 옳다고 생각하는 이 견해를 지지하는 사람은 많지 않다. 어쩌면 내가 역사상 맨 처음으로 모든 타당한 논리적인 근거를 가지고 그런 입장을 분명히 취한 사람일 것이다. 한편 나는 알거니와 내가 이런 논의를 하는 마지막 사람은 분명 아니다.”- 게오르그 칸토어
그의 연구는 수십 년에 걸쳐 조금씩 인정받습니다. 칸토어의 무한은 모든 수학영역에 스며들어 이제는 막대한 영향력을 행사하게 되었습니다.
“아무도 칸토어가 만든 천국에서 우리를 쫓아내지는 못하리라!“-힐베르트
출처 : 네이버캐스트 수학산책 ∞
4. 유한합과 무한합
시그마 기호 ∑ 는, 유한 집합 또는 셀 수 있는 무한 집합에 대해서만 쓸 수 있다.